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    <title>重积分</title>
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</head>
<body>

<p class="example">
	`n` 维球的体积与表面积
	<span class="formula">
		`V_n(R) = (pi R^2)^(n/2)/(Gamma(n/2+1))`,
		`quad S_n(R) = V_n'(R) = n/R (pi R^2)^(n/2)/(Gamma(n/2+1))`.
	</span>
	有趣的是, 偶数维单位球体体积之和
	<span class="formula">
		`sum_(n ge 1) V_(2n)(1)`
		`= sum_(n ge 1) pi^n/(n!)`
		`= "e"^pi-1`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	用归纳法. `n = 2` 时 `V_2(R) = pi R^2`, `S_2(R) = 2 pi R`, 结论成立.
	假设结论对正整数 `n ge 2` 成立, 考察 `n+1` 的情形:
	<span class="formula align">
		`V_(n+1)(R) = int_(-R)^R V_n(sqrt(R^2-x^2)) dx`
		`= pi^(n/2)/(Gamma(n/2+1)) int_(-R)^R (R^2-x^2)^(n/2) dx`
		(令 `t = (R+x)/(2R)`)
		`= pi^(n/2)/(Gamma(n/2+1)) (2R)^(n+1) int_0^1 t^(n/2) (1-t)^(n/2) dt`
		`= pi^(n/2)/(Gamma(n/2+1)) (2R)^(n+1) B(n/2+1, n/2+1)`
		`= pi^(n/2) (2R)^(n+1) (Gamma(n/2+1))/(Gamma(n+2))`
		`= (pi R^2)^((n+1)/2)/(Gamma(n/2+3/2))`.
	</span>
	最后一个等号用到了 Legendre 倍元公式.
</p>

<p class="proof">
	取 `n` 维球坐标
	<span class="formula">
		`x_1 = r sin theta_1`,<br/>
		`x_2 = r cos theta_1 sin theta_2`,<br/>
		`cdots`,<br/>
		`x_(n-1) = r cos theta_1 cdots cos theta_(n-2) sin
		theta_(n-1)`,<br/>
		`x_n = r cos theta_1 cdots cos theta_(n-2) cos theta_(n-1)`.
	</span>
	其 Jacobi 行列式
	<span class="formula">
		`J = |
			sin{:theta_1:}, r cos{:theta_1:}, , ;
			cos theta_1 sin{:theta_2:}, -r sin theta_1 sin{:theta_2:}, r cos theta_1 cos{:theta_2:}, ;
			vdots, vdots, , ;
			cos theta_1 cdots cos theta_(n-2) sin{:theta_(n-1):},
			-r sin theta_1 cos theta_2 cdots sin{:theta_(n-1):},
			cdots, r cos theta_1 cdots cos{:theta_(n-1):};
			cos theta_1 cdots cos{:theta_(n-1):},
			-r sin theta_1 cos theta_2 cdots cos{:theta_(n-1):},
			cdots, -r cos theta_1 cdots sin{:theta_(n-1):}
		|`
	</span>
	??
</p>

<h3>例子: 球面上两弧围成的曲面面积</h3>

<p class="question" id="que-arc-split-sphere-area-1">
	设有一球心位于原点, 半径为 `R` 的球面. 两平面 `alpha, beta` 相交于直线
	`l`, 它们到原点的距离分别为 `h_1, h_2`. (`0 lt h_1, h_2 lt R`),
	它们与球面分别相交于圆 `O_1, O_2`, 这两圆的半径分别为 `r_1, r_2`.
	记 `angle O_1 O O_2 = varphi`. 现假设这两平面将球面分为四部分,
	求与原点相对的那部分的球面面积 ("相对" 是指, 该部分球面与原点既在
	`alpha` 的异侧, 又在 `beta` 异侧).
</p>

<div class="img">
	<img src="../img/sphere-area-001.png" />
</div>

<p>	我们先解决这个问题的一个特殊情形:</p>

<p class="question" id="que-arc-split-sphere-area-2">
	在<a class="ref" href="#que-arc-split-sphere-area-1"></a>中令
	`h_2 = 0`, 这时记 `alpha, beta` 所成的锐二面角为 `varphi`,
	其他条件不变, 求与原点相对的那部分球面的面积.
</p>

<div class="img">
	<img src="../img/sphere-area-002.png" />
</div>

<p class="solution">
	为了保证 `alpha, beta` 能将球面分成四部分, `h_1, R, varphi` 应满足关系
	<span class="formula">
		`h_1 lt R sin varphi`.
	</span>
	我们取过球心, 且平行于 `alpha` 的平面为 `xOy` 平面, 以 `l`
	的一个方向为 `x` 轴正方向, 使得 `l` 落在第一, 二卦限中,
	建立直角坐标系. 将所求曲面的一半投影到 `xOy` 平面 (<a class="ref"
		href="#gra-sphere-area-003"></a>)
	<span class="img" id="gra-sphere-area-003">
		<img src="../img/sphere-area-003.png" />
	</span>
	所得的平面区域 `D`
	由 `y` 轴, `L_1: y = sqrt(r_1^2 - x^2)`, `L_2: x^2 + y^2 sec^2 varphi
	= R^2` 围成 (联立 `x^2 + y^2 + z^2 = R^2` 与 `z = y tan varphi`, 消去
	`z` 就得到 `L_2` 的方程).
	换成极坐标, 即
	<span class="formula">
		`L_1: rho = r_1`,<br/>
		`L_2: rho^2 cos^2 theta + rho^2 sin^2 theta sec^2 varphi = R^2`.
	</span>
	联立两式, 得到两曲线交点对应的弧度值
	<span class="formula">
		`theta_A`
		`= arcsin{:(h_1 cot varphi)/r_1:}`
		`= arccos{:sqrt(r_1^2-h_1^2 cot^2 varphi)/r_1:}`
		`= arccos{:sqrt(r_1^2 sin^2 varphi - h_1^2 cos^2 varphi)/(r_1 sin
		varphi):}`
		`= arccos{:sqrt(r_1^2 - R^2 cos^2 varphi)/(r_1 sin varphi):}`.
	</span>
	又设
	<span class="formula">
		`rho_0 = (R cos varphi)/sqrt(1-sin^2 varphi cos^2 theta)`,
	</span>
	于是换元后所得区域 `E` 表示为
	<span class="formula">
		`E: {
			rho_0 le rho le r_1;
			theta_A le theta le pi/2;
		:}`
	</span>
	所求曲面的面积为
	<span class="formula">
		`S = 2 iint_D sqrt(1 + z_x^2 + z_y^2) dx dy`
		`= 2 iint_D sqrt(1 + x^2/z^2 + y^2/z^2) dx dy`
		`= 2R iint_D (dx dy)/sqrt(R^2 - x^2 - y^2)`
		`= 2R iint_E (rho "d"rho "d" theta)/sqrt(R^2 - rho^2)`
		`= -R int_(theta_A)^(pi/2) "d"theta int_(rho_0)^(r_1)
		("d"(R^2-rho^2))/sqrt(R^2-rho^2)`
		`= 2R int_(theta_A)^(pi/2) (sqrt(R^2-rho_0^2) - h_1)"d" theta`.
	</span>
	因为
	<span class="formula">
		`sqrt(R^2-rho_0^2)`
		`= R sqrt(1- (cos^2 varphi)/(1-sin^2 varphi cos^2 theta))`
		`= (R sin varphi sin theta)/sqrt(1-sin^2 varphi cos^2 theta)`,
	</span>
	所以
	<span class="formula">
		`int_(theta_A)^(pi/2) sqrt(R^2-rho_0^2) "d"theta`
		`= R int_(pi/2)^(theta_A) ("d" (sin varphi cos
			theta))/sqrt(1-sin^2 varphi cos^2 theta)`
		`= R [arcsin (sin varphi cos theta)]_(pi/2)^(theta_A)`
		`= R arcsin sqrt(1-((R cos varphi)/r_1)^2)`
		`= R arccos {:(R cos varphi)/r_1:}`.
	</span>
	最终
	<span class="formula">
		`S = 2R[R arccos{:(R cos varphi)/r_1:} - h_1(pi/2-theta_A)]`
		`= 2R(R arccos {:(R cos varphi)/r_1:} - h_1 arccos{:(h_1 cot
		varphi)/r_1:})`.
	</span>
	在<a class="ref" href="#gra-sphere-area-003"></a>中,
	记过椭圆 `L_2` 上顶点的切线与圆 `L_1` 在第一象限交于点 `B`,
	如果 `angle AOY = theta_1`, `angle BOY = theta_2`,
	我们的结论也可以写成
	<span class="formula">
		`S = 2R(R theta_2 - h theta_1)`.
	</span>
</p>

<p>	我们引入下面的公式, 从一个特殊情形中验证上面结论的正确性.</p>

<p class="theorem">
	以相互平行, 且间距为 `H` 的两平面去截半径为 `R` 的球,
	两平面之间所夹的球面片段的面积等于 `2 pi R H`.
</p>

<div class="img">
	<img src="../img/sphere-area-004.png" />
</div>

<p class="proof">
	这是一个旋转体的侧面积. 以球心为原点, 垂直于这两个平面的方向为 `x`
	轴正方向, 建立直角坐标系. 用圆台的侧面积去近似对应于每个 `dx`
	的侧面积, 有
	<span class="formula">
		`"d"S = pi (sqrt(R^2-x^2) + sqrt(R^2-(x+dx^2))) sqrt(1 +
		(dy/dx)^2) dx`
		`= 2 pi sqrt(R^2-x^2) R/sqrt(R^2-x^2)`
		`= 2 pi R dx`, <br/>
		`S = int_a^b "d"S = 2 pi R (b-a) = 2 pi R H`.
	</span>
</p>

<p class="remark">
	在<a class="ref" href="#que-arc-split-sphere-area-2"></a>中取
	`varphi = pi/2`, 则所求面积可以视作由平面 `z = h_1` 和
	`z = R` 所夹的球面片段的一半, 从而 `S = pi R (R - h_1)`. 另一方面,
	由<a class="ref" href="#que-arc-split-sphere-area-2"></a>的结论有:
	<span class="formula">
		`S = 2R(R * pi/2 - h_1 * pi/2) = pi R(R-h_1)`.
	</span>
</p>

<p class="question" id="que-arc-split-sphere-area-3">
	在<a class="ref" href="#que-arc-split-sphere-area-1"></a>中,
	将平面 `alpha, beta` 分别取为 `z = h_1`, `y = h_2`. 此时 `varphi =
	pi/2`, 其他条件不变, 求与原点相对的那部分球面的面积.
</p>

<div class="img">
	<img src="../img/sphere-area-005.png" />
</div>

<p class="solution">
	同样, 为使两平面能将球面分成四部分, 规定 `r_2 gt h_1` (从而 `h_2 lt
	r_1`).
	<a class="ref" href="#que-arc-split-sphere-area-2"></a>的解法不再好用.
	受上述定理的启发, 我们用垂直于 `z` 轴的平面, 将所求曲面分成许多小曲面,
	对每个小曲面应用定理的结论, 有
	<span class="formula">
		`"d"S = R gamma(z) dz`,
	</span>
	其中 `gamma(z)` 表示小曲面在柱坐标系下所占的圆心角.
	由 `rho^2 + z^2 = R^2` 与 `rho sin theta = h_2` 消去 `rho`, 得
	<span class="formula">
		`sin theta = h_2/sqrt(R^2-z^2)`.
	</span>
	不难得到
	<span class="formula">
		`gamma(z) = 2 arccos {:h_2/sqrt(R^2-z^2):}`.
	</span>
	于是所求的面积
	<span class="formula">
		`S = R int_(h_1)^(r_2) gamma(z) dz`
		`= 2R int_(h_1)^(r_2) arccos {:h_2/sqrt(R^2-z^2):} dz`.
	</span>
	令 `u = h_2/sqrt(R^2-z^2)`, 则 `z = sqrt(R^2-(h_2/u)^2)`. 分部积分,
	<span class="formula">
		`S = 2R [sqrt(R^2-(h_2/u)^2) arccos u]_(h_2//r_1)^1`
    `+ 2R int_(h_2//r_1)^1 sqrt(R^2 - (h_2/u)^2) ("d"u)/sqrt(1-u^2)`
		`= -2 R h_1 arccos {:h_2/r_1:} + R int_(h_2//r_1)^1 sqrt((R^2 u^2
		- h_2^2)/(1-u^2)) ("d"(u^2))/u^2`.
	</span>
	因为
	<span class="formula">
		`int sqrt((a^2 x - b^2)/(1-x)) dx/x`
		(令 `t = sqrt((a^2x-b^2)/(1-x))`,
		则 `x = (b^2+t^2)/(a^2+t^2)`,
		`dx = (2t(a^2-b^2)) / (a^2+t^2)^2 dt`)
		`= int t * (a^2+t^2) / (b^2+t^2)
			* (2t(a^2-b^2)) / (a^2+t^2)^2 dt`
		`= 2 int ( a^2/(a^2 + t^2) - b^2 / (b^2 + t^2) ) dt`
		`= 2 ( a arctan{:t/a:} - b arctan{:t/b:} ) + C`,
	</span>
	所以
	<span class="formula">
		`R int_(h_2//r_1)^1 sqrt((R^2 u^2 - h_2^2)/(1-u^2)) ("d"(u^2))/u^2`
		`= 2R [R arctan sqrt((u^2 - h_2^2//R^2)/(1-u^2)) - h_2 arctan
		sqrt((R^2 u^2//h_2^2 - 1)/(1-u^2))]_(h_2//r_1)^1`
		`= 2R(R "arccot" {:(h_1 h_2)/(R sqrt(r_1^2-h_2^2)):}
		- h_2 "arccot" {:h_1/sqrt(r_1^2-h_2^2):})`
		`= 2R(R arccos{:(h_1 h_2)/(r_1 r_2):} - h_2 arccos{:h_1/r_2:})`.
	</span>
	最终
	<span class="formula">
		`S = 2R(R arccos{:(h_1 h_2)/(r_1 r_2):} - h_1 arccos{:h_2/r_1:} -
		h_2 arccos{:h_1/r_2:})`.
	</span>
</p>

<p>	现在我们来解答<a class="ref" href="#que-arc-split-sphere-area-1"></a>.
</p>

<p class="solution">
	类似<a class="ref" href="#que-arc-split-sphere-area-3"></a>, 得到
	<span class="formula">
		`gamma(z) = 2 arccos{:(h_2 - z cos varphi)/(sin varphi sqrt(R^2 -
		z^2)):}`.
	</span>
	再联立 `x^2 + y^2 + z^2 = R^2` 和 `y sin varphi + z cos varphi = h_2`,
	消去 `y` 得
	<span class="formula">
		`z = +-sin varphi sqrt(r_2^2 - x^2) + h_2 cos varphi`.
	</span>
	注意到当 `x = 0`, `z` 取得最大值 `z_(max) = r_2 sin varphi + h_2 cos
	varphi`. 则原问题化为定积分
	<span class="formula">
		`2R int_(r_1)^(z_(max)) arccos {:(h_2 - z cos varphi)/(sin varphi
		sqrt(R^2-z^2):} dz`.
	</span>
</p>

<p class="solution">
  在 `x` 方向上取微元 `dx`, 这一小块曲面在 `yOz` 平面上投影的半径为
  `sqrt(R^2-x^2)`, 下面求圆心角 `alpha(x)`.
	<span class="img" id="gra-sphere-area-006">
		<img src="../img/sphere-area-006.png" />
	</span>
  如图 <a class="ref" href="#gra-sphere-area-006"></a>, (图中
  O 点应为球心在 `yOz` 平面的投影)
	<span class="formula">
		`cos angle BOC = h_1/sqrt(R^2-x^2)`,
		`quad cos angle AOD = h_2/sqrt(R^2-x^2)`.
	</span>
	所以
	<span class="formula">
		`alpha(x) = angle BOC - angle AOC`
		`= angle BOC - (varphi - angle AOD)`
		`= arccos {:h_1/sqrt(R^2-x^2):} + arccos {:h_2/sqrt(R^2-x^2):} -
		varphi`.
	</span>
	设平面 `alpha, beta` 的交线 `l` 被球面截得的长度为 `2x_0`, `|O_1 O_2|
	= d`. 联立 `z = h_1`, `x^2 + y^2 + z^2 = R^2` 和 `y sin varphi + z cos
	varphi = h_2` 得
	<span class="formula">
		`x_0^2 = R^2 - (h_1^2 sin^2 varphi + (h_2 - h_1 cos
		varphi)^2)/(sin^2 varphi)`
		`= R^2 - (h_1^2 + h_2^2 - 2 h_1 h_2 cos varphi)/(sin^2 varphi)`
		`= R^2 - d^2/(sin^2 varphi)`.
	</span>
	所以
	<span class="formula align">
    `int_0^(x_0) arccos{:h_1/sqrt(R^2-x^2):}dx`<br/>
		`= x_0 arccos{:(h_1 sin varphi)/d:}`
      `+ [R arctan sqrt((u^2 - h_1^2//R^2)/(1-u^2)):}`
      `{:- h_1 arctan sqrt((R^2 u^2//h_1^2-1)/(1-u^2))]
      _(h_1 // R)^(h_1 sin varphi // d)`<br/>
		`= x_0 arccos{:(h_1 sin varphi)/d:}
		  + R arctan{:(h_1 x_0 sin varphi)/(R sqrt(d^2-h_1^2 sin^2
		  varphi)):}`
		  `- h_1 arctan{:(x_0 sin varphi)/sqrt(d^2 - h_1^2 sin^2
      varphi):}`<br/>
		`= x_0 arccos{:(h_1 sin varphi)/d:}
		  + R arcsin(x_0/r_1 (h_1 sin varphi)/d)
		  - h_1 arcsin{:x_0/r_1:}`.
    </span>
	</span>
	最终
	<span class="formula align">
    `S = 2R int_0^(x_0) (arccos {:h_1/sqrt(R^2-x^2):}:}`
    `{:+ arccos {:h_2/sqrt(R^2-x^2):} - varphi) dx`<br/>
    `= 2R sum_(i=1,2) (x_0 arccos{:(h_i sin varphi)/d:}:}`
		  `+ R arcsin(x_0/r_i (h_i sin varphi)/d)`
      `{:- h_i arcsin{:x_0/r_i:}) - 2R x_0 varphi`<br/>
		`= 2R x_0(pi -2varphi) + 2R sum_(i=1,2)
    (R arcsin(x_0/r_i (h_i sin varphi)/d)
		- h_i arcsin{:x_0/r_i:})`.
	</span>
  其中 `arccos {:(h_i sin varphi)/d:}` 表示直线 `O_1 O_2` 与平面 `3-i`
  的夹角; `arcsin{:x_0/r_1:}` 表示圆 `O_i` 的圆心角的一半;
  `arcsin(x_0/r_i (h_i sin varphi)/d)` 表示 ??
</p>

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</body>
</html>
